Question

已知道函數f（x）=alnx+

1

2

x²+（a+1）x+3
（1）當a=-1時，求函數f（x）的單調遞減區(qū)間．
（2）若函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）a=-1時，f（x）=-lnx+

1

2

x²+3，得f′（x）=x-

1

x

，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，從而f（x）在（0，1）遞減；
（2）由f′（x）=

a

x

+x+a+1，（x＞0），令f′（x）≥0，即

a

x

+x+a+1≥0，從而求出a≥0．

解答： 解：（1）a=-1時，f（x）=-lnx+

1

2

x²+3，
∴f′（x）=x-

1

x

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減；
（2）∵f′（x）=

a

x

+x+a+1，（x＞0），
令f′（x）≥0，即

a

x

+x+a+1≥0，
整理得：a（1+x）≥-x（1+x），
∴a≥0．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求參數的范圍，是一道基礎題．