設F1、F2是雙曲線x2-
y2
4
=1的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(
OP
+
OF2
)  •
F2P
=0（O為坐標原點）且|PF1|=λ|PF2|，則λ的值為（　　）
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3
分析：設點P（
1+
m2
4
，m），由 (
OP
+
OF2
)  •
F2P
=0解出 m，根據(jù)雙曲線的第二定義得e=
5
=
|PF2|
1+
m2
4
-
1
5
，求出|PF2|的值，再利用第一定義求出|PF1|的值，即得λ值．
解答：解：由題意得   a=1，b=2，∴c=
5
，F(xiàn)1（-
5
，0），F(xiàn)2 （
5
，0），e=
5
．
設點P（
1+
m2
4
，m），∵(
OP
+
OF2
)  •
F2P
=（
1+
m2
4
+
5
，m）•（
1+
m2
4
-
5
，m）
=1+
m2
4
-5+m2=0，m2=
16
5
，m=±
4
5
5
．
由雙曲線的第二定義得 e=
5
=
|PF2|
1+
m2
4
-
1
5
，∴|PF2|=2，
∴|PF1|=2a+|PF2|=4，∴λ=
|PF1|
|PF2|
=
4
2
=2，
故選A．
點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算，雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，點P在雙曲線上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），則雙曲線的離心率為（　　）
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•寶山區(qū)模擬）雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一點(2，
3
)到左，右兩焦點距離的差為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設F1，F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點，P是雙曲線上的點，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面積；
（3）過（-2，0）作直線l交雙曲線C于A，B兩點，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使OAPB為矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1、F2是雙曲線x2-
y224
=1的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且3|PF1|=4|PF2|，則△PF1F2的面積等于
24
24
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•許昌三模）設F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
3
-y2=1的兩個焦點，P在雙曲線上，當△F1PF2的面積為2時，
PF1
•
PF2
的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1、F2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O為坐標原點），且tan∠PF2F1=2，則雙曲線的離心率為（　�。�

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