Question

15．在△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，且最大邊和最小邊是方程2x²-6x+3=0的兩根，則△ABC的外接圓半徑等于$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得出最大邊與最小邊之間的等量關(guān)系，再利用余弦定理可求b，進(jìn)而利用正弦定理即可得解．

解答 解：∵角A，B，C成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2B=A+C}\\{A+B+C=π}\end{array}\right.$，解得：B=$\frac{π}{3}$，
∴b既不是最大邊，也不是最小邊，不妨假設(shè)c為最大邊，a為最小邊，
則$\left\{\begin{array}{l}{a+c=3}\\{ac=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴b²=c²+a²-2accos60°=（a+c）²-3ac=$\frac{9}{2}$，
∴b=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（a=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$舍去）
∴R=$\frac{2sinB}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和三角形三邊關(guān)系，正弦定理，余弦定理以及二次根式的計(jì)算，題目綜合性較強(qiáng)．