Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1，x≤1 f(x-1)+1，x＞1

，把函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義，構(gòu)造兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)，再通過(guò)數(shù)列及通項(xiàng)公式的概念和求和公式即可得所求的解．

解答： 解：當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，
得2^x=x+1．令y=2^x，y=x+1．
在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]上的圖象，
由圖象易知交點(diǎn)為（0，0）和（1，1），
故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x₁=0，x₂=1．
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1
=2^x-1-1+1=2^x-1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．令y=2^x-1，y=x．
在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（1，2]上的圖象，
由圖象易知交點(diǎn)為（2，2），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x₃=2．
當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，x-1∈（1，2]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2+1，y=x．
在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（2，3]上的圖象，
由圖象易知交點(diǎn)為（3，3），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x₄=3．
依此類推，當(dāng)x∈（3，4]，x∈（4，5]，…，x∈（n，n+1]時(shí)，
構(gòu)造的兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)依次為（4，4），（5，5），…，（n+1，n+1），
得對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)分別為x=4，x=5，…，x=n+1．
故所有的零點(diǎn)從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．
其對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=n-1．
則該數(shù)列前10項(xiàng)和為

9×10

2

=45．
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)的求法、數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示；培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力；解題中使用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想．