Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，記．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．；
（2）求S_n與S_n-1的關系式；
（3）求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式不同，進而把a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆分成奇數(shù)項和偶數(shù)，根據(jù)通項公式表示出a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=3a₁+2a₃+a₅求得答案．
（2）先把前n項的和分成奇數(shù)項和偶數(shù)項，其中奇數(shù)項成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得奇數(shù)項的和，偶數(shù)項的和為S_n-1，進而求得S_n與S_n-1的關系式；
（3）利用（2）中的遞推式，利用疊加法，進而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得S_n．
解答：解：（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．=a₁+a₁+a₃+a₂+a₅+a₃=a₁+a₁+2a₃+a₁+a₅=3a₁+2a₃+a₅=14
（2）
=（a₁+a₃+a₅+…+）+（a₂+a₄+a₆+…+）
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+（a₂+a₄+a₆+…+）
=4^n-1+S_n-1
（3）由（2）知S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2），即S_n-S_n-1=4^n-1，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=4^n-1+4^n-2+…+4+2=+2=（4ⁿ+2）
點評：本題主要考查了數(shù)列的求和問題．考查了學生綜合運用所學知識的能力．