Question

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3（a∈R）．
（1）若對?x∈（0，+∞），恒有不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$g（x），求a得取值范圍；
（2）證明：對?x∈（0，+∞），有l(wèi)nx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為證a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0）則a≤h（x）_min，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明f（x）•（lnx）＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，由f′（x）=lnx+1，確定函數(shù)的單調(diào)性，得到當x＞0時f（x）≥f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，令ω（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）當x＞0時，要證f（x）≥$\frac{1}{2}$g（x），
只需證：xlnx≥$\frac{1}{2}$（-x²+ax-3），
只需證a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），
令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0）則a≤h（x）_min，
由h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，知函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
故的取值范圍是（-∞，4]；
（2）證明：要證lnx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$，只要證f（x）•（lnx）＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
由f′（x）=lnx+1，知f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增．
于是，當x＞0時f（x）≥f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，①…（7分）
令ω（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x＞0），則ω′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
于是，ω（x）≤ω（1）=-$\frac{1}{e}$=②…（9分）
顯然，不等式①，②中的等號不能同時成立．
故當x＞0時，f（x）＞g（x）  即lnx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．