已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，－).

(1)求雙曲線方程；

(2)若點M(3,m)在此雙曲線上，求·；

(3)求△F1MF2的面積.

解:(1)由題意知，雙曲線的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程.

∵雙曲線的一條漸近線方程為y=x,

∴設(shè)雙曲線方程為x2－y2=λ.

把點(4，－)代入雙曲線方程得

42－(－)2=λ,λ=6.

∴所求雙曲線方程為x2－y2=6.

(2)由(1)知雙曲線方程為x2－y2=6.

∴雙曲線的焦點為F1(－2，0)、F2(2，0).

∵M點在雙曲線上,

∴32－m2=6,m2=3.

∴·=(－2－3,－m)·(2－3,－m)=(－3)2－(2)2+m2=－3+3=0.

(3)∵·=0，∴MF1⊥MF2.

∴△F1MF2為直角三角形.

∵||=

=，

||=

=,

∴S=||·||

=·

=6.

點評:本例(1)的解法中利用了“如果雙曲線的漸近線為y=±x時，那么雙曲線的方程可設(shè)為=λ(λ≠0)”這一結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為
2
，且過點(4，-
10
)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2-y2=6
x2-y2=6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點為F1（5，0），F(xiàn)2（-5，0），且過點（3，0），
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求雙曲線的離心率及準(zhǔn)線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-
10
)．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)A點坐標(biāo)為（0，2），求雙曲線上距點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-
10
)，A點坐標(biāo)為（0，2），則雙曲線上距點A距離最短的點的坐標(biāo)是
(±
7
，1)
(±
7
，1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•豐臺區(qū)一模）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，一條漸近線方程為y=
3
4
x，則該雙曲線的離心率是
5
4
5
4
．

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