Question

設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數(shù)圖象上任意兩點，且x₁+x₂=1．
（Ⅰ）求y₁+y₂的值；
（Ⅱ）若（其中n∈N^*），求T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)（n∈N^*），若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件A，B在函數(shù)f（x）上，代入求出y₁和y₂，再利用x₁+x₂=1進行化簡求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=2，利用倒敘相加法進行求和；
（Ⅲ）根據(jù)已知條件利用（n∈N）將要證明的命題進行轉(zhuǎn)化，只要求出的最小值即可；
解答：解：（Ⅰ）∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數(shù)圖象上任意兩點，且x₁+x₂=1．
y₁+y₂=
====2．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=2，
由得，，
∴，
∴T_n=n+1．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）即為，
設(shè)H_n=，
則 H_n+1=，
∴，
∴數(shù)列{H_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴（H_n）_min=T₁=1，（10分）
要使不等式恒成立，只需log_a（1-2a）＜1，
即log_a（1-2a）＜log_aa，
∴或
解得．
故使不等式對于任意正整數(shù)n恒成立的a的取值范圍是．（12分）
點評：此題考查函數(shù)的恒成立問題以及函數(shù)的數(shù)列特性，是一道綜合題，本題計算量比較大，考查學(xué)生的計算能力，考查的知識點也比較全面；