Question

6．（1）已知雙曲線x²-y²=m與橢圓2x²+3y²=72有相同的焦點，求m的值．
（2）求焦點在x軸正半軸上，并且經過點P（2，-4）的拋物線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）確定橢圓、雙曲線的焦點坐標，根據雙曲線中三個系數a，b，c的關系求出m的值；
（2）設出拋物線的標準方程，代入點的坐標，即可求得結論．

解答 解：∵2x²+3y²=72
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{24}$=1，
∴c²=a²-b²=36-24=12，
∴焦點F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0），
∵雙曲線x²-y²=m即為：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{m}$=1，
∵與橢圓有相同焦點，
∴雙曲線c²=a²+b²=m+m=2m=12，
∴m=6．
故m的值為6；
（2）由題意，拋物線的開口向右，設方程為y²=2px（p＞0），
將P（2，-4）代入拋物線方程可得16=4p，
∴p=4，
∴拋物線的標準方程為y²=8x，
拋物線的標準方程y²=8x．

點評 本題主要考查了雙曲線的性質、橢圓的標準方程和拋物線的標準方程，要記住雙曲線和橢圓的定義和性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．