Question

11．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線x²=4y上不相同的兩個點，l是弦AB的垂直平分線．
（1）當x₁+x₂取何值時，可使拋物線的焦點F與原點O到直線l的距離相等？證明你的結(jié)論．
（2）當直線l的斜率為1時，求l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，結(jié)合l是弦AB的垂直平分線，拋物線的焦點F與原點O到直線l的距離相等，即可得出結(jié)論；
（2）由已知可設(shè)直線l的方程為y=x+b，則AB所在直線為y=-x+m，代入拋物線方程x²=4y，得x²+4x-4m=0，利用韋達定理，確定m，b的關(guān)系，利用根的判別式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知，拋物線x²=4y，焦點F的坐標為F（0，1）．
當l與y軸重合時，顯然符合條件，此時x₁+x₂=0．
當l不與y軸重合時，要使拋物線的焦點F與原點O到直線l的距離相等，當且僅當直線l通過點（0，$\frac{1}{2}$）．
設(shè)l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+$\frac{1}{2}$
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•k=-1}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=k•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=-12無意義．
因此，只有x₁+x₂=0時，拋物線的焦點F與原點O到直線l的距離相等．
（2）由已知可設(shè)直線l的方程為y=x+b，則AB所在直線為y=-x+m，
代入拋物線方程x²=4y，得x²+4x-4m=0．①
∴x₁+x₂=-4．
設(shè)AB的中點為M（x₀，y₀），則x₀=-2，y₀=2+m，
代入直線l的方程得2+m=-2+b，即m=b-4．
又∵對于①式有△=4²-4×1×（-4m）=16+16m＞0，
解得m＞-1．
∴b-4＞-1，即b＞3．
∴l(xiāng)在y軸上截距的取值范圍為（3，+∞）．

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．