Question

已知實(shí)數(shù)x,y滿足 . 

（1）求的最小值和最大值； （2）求的取值范圍；     

（3）求的最小值；       （4）求最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值分別為3和12（2）（3）2（4）3

【解析】

試題分析：∵實(shí)數(shù)x,y滿足，

∴作出可行域如圖所示，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)，   

（1）如圖，作直線且平移該直線，

由圖可知當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)B時，即時，；

當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)C時，即時， ，

∴目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值分別為3和12                             ……3分

（2）∵表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率， 

∴由圖知，                   

又，

∴，                 

∴的取值范圍是                                              ……6分

（3）∵表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，

∴從圖中易知可行域中的點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最小，   

∴，  

∴                                                           ……9分

（4）∵

∴表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到直線的距離

在圖中作出直線，由圖易知可行域中的點(diǎn)B到該直線的距離最小

∴點(diǎn)B到該直線的距離

∴

∴                                                                   ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查利用線性規(guī)劃知識求最值.

點(diǎn)評：解決線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵是正確畫出可行域，如果目標(biāo)函數(shù)不是線性的，則需要進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，比如轉(zhuǎn)化為距離、斜率等.