分析:(Ⅰ)要證明A1C⊥平面BB1D1D,只要證明A1C垂直于平面BB1D1D內(nèi)的兩條相交直線即可,由已知可證出A1C⊥BD,取B1D1的中點(diǎn)為E1,通過證明四邊形A1OCE1為正方形可證A1C⊥E1O.由線面垂直的判定定理問題得證.
(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OA1所在直線為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出平面OCB1與平面BB1D1D的法向量,利用法向量所成的角求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大。
解答:(Ⅰ)證明:∵A
1O⊥面ABCD,且BD?面ABCD,∴A
1O⊥BD;
又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,A
1O∩AC=O,
∴BD⊥面A
1AC,且A
1C?面A
1AC,故A
1C⊥BD.
在正方形ABCD中,∵
AB=,∴AO=1,
在Rt△A
1OA中,∵
AA1=,∴A
1O=1.
設(shè)B
1D
1的中點(diǎn)為E
1,則四邊形A
1OCE
1為正方形,∴A
1C⊥E
1O.
又BD?面BB
1D
1D,且E
10?面BB
1D
1D,且BD∩EO=O,
∴A
1C⊥面BB
1D
1D;
(Ⅱ)解:以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OA
1所在直線為x,y,Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則B(1,0,0),C(0,1,0),A
1(0,0,1),B
1(1,1,1),
=(0,1,-1).
由(Ⅰ)知,平面BB
1D
1D的一個(gè)法向量
==(0,1,-1),
=(1,1,1),
=(0,1,0).
設(shè)平面OCB
1的法向量為
=(x,y,z),
由
,得
,取z=-1,得x=1.
∴
=(1,0,-1).
則
cosθ=|cos<,>|=
==.
所以,平面OCB
1與平面BB
1D
1D的夾角θ為
.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與平面垂直的判定,考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角,解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系,是中檔題.