【題目】已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
（1）討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范圍．

【答案】
（1）解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣ ．

∴f′（x）= = ，

∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴當(dāng)1﹣a≤0時(shí)，即a≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f′（x）=0得x=± ，則函數(shù)f（x）在（0， ）單調(diào)遞減，在（ ，+∞）單調(diào)遞增．


（2）解：由（1）知，當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）不存在極值點(diǎn)．

因此要使f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則必有0＜a＜1，又f（x）的極值點(diǎn)值可能是x1= ，x2=﹣ ，

且由f（x）的定義域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，

∴﹣ ＞﹣ 且﹣ ≠﹣2，解得a≠ ，則x1，x2分別為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣ +ln（1+ax2）﹣ =ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣

=ln（2a﹣1）2﹣ =ln（2a﹣1）2+ ﹣2．

令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠ 得，

當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，﹣1＜x＜0；當(dāng) ＜a＜1時(shí)，0＜x＜1．

令g（x）=lnx2+ ﹣2．

（i）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g（x）=2ln（﹣x）+ ﹣2，∴g′（x）= ﹣ = ＜0，

故g（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，

∴當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，f（x1）+f（x2）＜0；

（ii）當(dāng)0＜x＜1．g（x）=2lnx+ ﹣2，g′（x）= ﹣ = ＜0，

故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（1）=0，

∴當(dāng) ＜a＜1時(shí)，f（x1）+f（x2）＞0；

綜上所述，a的取值范圍是（ ，1）．


【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)a分類討論；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，注意a的討論及利用換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.

（I）求證：是等比數(shù)列；

（II）求證：不是等比數(shù)列.

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【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+e﹣x ， 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）已知正數(shù)a滿足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，試比較ea﹣1與ae﹣1的大小，并證明你的結(jié)論．

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【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，AC∩BD=O，
A1C1∩B1D1=O1 ， 四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．
（1）證明：O1O⊥底面ABCD；
（2）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．

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【題目】如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 離心率為e1；雙曲線C2： ﹣ =1的左、右焦點(diǎn)分別為F3 ， F4 ， 離心率為e2 ， 已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．

（1）求C1、C2的方程；
（2）過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值．

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【題目】若函數(shù)f（x），g（x）滿足 f（x）g（x）dx=0，則f（x），g（x）為區(qū)間[﹣1，1]上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：
①f（x）=sin x，g（x）=cos x；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x2 ，
其中為區(qū)間[﹣1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）= （|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若x∈R，f（x﹣1）≤f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.[﹣ ， ]
B.[﹣ ， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣ ， ]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是定義在上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對(duì)區(qū)間的任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對(duì)差有界函數(shù)”，注：.

（1）求證：函數(shù)在上是“絕對(duì)差有界函數(shù)”；

（2）記集合存在常數(shù)，對(duì)任意的，有成立.

求證：集合中的任意函數(shù)為“絕對(duì)差有界函數(shù)”；

（3）求證：函數(shù)不是上的“絕對(duì)差有界函數(shù)”.

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【題目】已知點(diǎn)A（2，0），拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|：|MN|=________.

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