Question

已知函數(shù)f（x）=2^|x-m|和函數(shù)g（x）=x|x-m|+2m-8．
（1）若m=2，寫出函數(shù)f（x）的對稱軸方程、并求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[4，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m=2時，函數(shù)f（x）=）=2^|x-2|，的對稱軸方程為直線x=2．化簡函數(shù)g（x）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出
g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由題意可得f（x）的值域應(yīng)是g（x）的值域的子集，再分4≤m≤8、m＞8、0＜m＜4、m≤0四種情況，分別求出
實數(shù)m的取值范圍，再取并集即得所求．

解答：解：（1）m=2時，函數(shù)f（x）=）=2^|x-2|，的對稱軸方程為直線x=2，（2分）
g(x)=

x2-2x-4  (x≥2) -x2+2x-4(x＜2)

，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．（6分）
（2）f(x)=

2x-m (x≥m) 2m-x(x＜m)

，則f（x）的值域應(yīng)是g（x）的值域的子集．
①當(dāng)4≤m≤8時，f（x）在（-∞，4]上單調(diào)減，故f（x）≥f（4）=2^m-4 ，
g（x）在[4，m]上單調(diào)減，[m，+∞）上單調(diào)增，故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．（9分）
②當(dāng)m＞8時，f（x）在（-∞，4]上單調(diào)減，故f（x）≥f（4）=2^m-4，
g（x）在[4，

m

2

]單調(diào)增，[

m

2

，m]上單調(diào)減，[m，+∞）上單調(diào)增，g（4）=4m-16＞g（m）=2m-8，
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．…（12分）
③0＜m＜4時，f（x）在（-∞，m]上單調(diào)減，[m，4]上單調(diào)增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上單調(diào)增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即

7

2

≤m＜4．（15分）
④m≤0時，f（x）在（-∞，m]上單調(diào)減，在[m，4]上單調(diào)增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上單調(diào)增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥

7

2

．（舍去）
綜上，m的取值范圍是[

7

2

，5]∪[6，+∞)．（18分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．