(2013•薊縣二模)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1,ACC1A1均為正方形,∠BAC=90°,點D是棱BC的中點.
(Ⅰ)求證:AD⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求證:A1B∥平面AC1D;
(Ⅲ)求平面AC1D與平面ACC1A1所成的銳二面角的余弦值.
分析:(Ⅰ)先證明AA1⊥平面ABC,可得CC1⊥AD,再利用線面垂直的判定定理,即可證明AD⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)利用三角形中位線的性質(zhì),證明A1B∥OD,利用線面平行的判定定理證明A1B∥平面AC1D;
(Ⅲ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AC1D與平面ACC1A1的法向量,利用向量的夾角公式,即可求銳二面角的余弦值.
解答:(Ⅰ)證明:因為側(cè)面ABB1A1,ACC1A1均為正方形
所以AA1⊥AC,AA1⊥AB
所以AA1⊥平面ABC  …(1分)
因為AD?平面ABC,AA1∥CC1,所以CC1⊥AD    …(2分)
又因為AB=AC,D為BC中點,所以AD⊥BC     …(3分)
因為CC1∩BC=C,所以AD⊥平面BCC1B1;    …(4分)
(Ⅱ)證明:連結(jié)A1C,交AC1于點O,連結(jié)OD
因為ACC1A1為正方形,所以O(shè)為AC1中點
又D為BC中點,所以O(shè)D為△A1BC中位線
所以A1B∥OD   …(6分)
因為OD?平面AC1D,AB1?平面AC1D
所以A1B∥平面AC1D…(8分)
(Ⅲ)解:因為側(cè)面ABB1A1,ACC1A1均為正方形,∠BAC=90°
所以AB,AC,AA1兩兩互相垂直,如圖所示建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
設(shè)AB=1,則A(0,0,0),C1(0,1,1),D(
1
2
,
1
2
,0)

AD
=(
1
2
,
1
2
,0)
AC1
=(0,1,1)…(9分)
設(shè)平面AC1D的法向量為
.
n
=(x,y,z),則有
n
AD
=0
n
AC1
=0
,
x+y=0
y+z=0
,∴x=-y=z
取x=1,得
n
=(1,-1,1)…(10分)
又因為AB⊥平面ACC1A1
所以平面ACC1A1的法向量為
AB
=(1,0,0)
…(11分)
∴cos<
n
,
AB
>=|
n
AB
|
n
||
AB
|
|
=
1
3
=
3
3
       …(12分)
所以,平面AC1D與平面ACC1A1所成的銳二面角的余弦值為
3
3
…(13分)
點評:本題考查線面垂直,線面平行,考查面面角,考查空間向量知識的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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