Question

已知函數(shù)y=log_a（1-a^x）  （a＞0且a≠1）
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）證明函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

Answer 1

分析：（1）要使函數(shù)y=log_a（1-a^x）有意義，則1-a^x＞0，即a^x＜1．當(dāng)0＜a＜1和當(dāng)a＞1兩種情況，分別求得x、y的范圍，即可得到函數(shù)的定義域和值域．
（2）先求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log_a（1-a^x），與原函數(shù)相同，即可證得函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)．

解答：解：（1）要使函數(shù)y=log_a（1-a^x）有意義，則1-a^x＞0，即a^x＜1．
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求得x＞0，此時(shí)，0＜1-a^x＜1，∴y=log_a（1-a^x）＞0，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a＞1時(shí)，求得x＜0，此時(shí)，0＜1-a^x＜1，∴y=log_a（1-a^x）＜0，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0），值域?yàn)椋?∞，0）．
（2）由y=log_a（1-a^x）可得1-a^x=a^y，解得 x=log_a（1-a^y），故原函數(shù)的反函數(shù)為y=log_a（1-a^x）與原函數(shù)相同，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．