Question

15．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=3+2t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos（θ-$\frac{π}{2}$）．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（2，1）直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求||PA|-|PB||

Answer 1

分析 （1）由ρ²=4ρsinθ，能求出圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）直線l消去參數(shù)t，得直線l的普通方程，由點(diǎn)P在圓C的外部，得||PA|-|PB||即弦AB的長(zhǎng)，由此能求出||PA|-|PB||．

解答 解：（1）∵圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos（θ-$\frac{π}{2}$）=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4y，
即x²+（y-2）²=4．
（2）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=3+2t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為2x+y-5=0，
則點(diǎn)P在圓C的外部，∴||PA|-|PB||即弦AB的長(zhǎng)，
又圓心C（0，2）到直線l的距離為d=$\frac{|0+2-5|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴|AB|=2$\sqrt{4-（\frac{3}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{55}}{5}$，
∴||PA|-|PB||=$\frac{2\sqrt{55}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段之差絕對(duì)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．