已知函數(shù).

（1）證明f（x）是奇函數(shù)；并求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）分別計算f（4）－5f（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函數(shù)f（x）和g（x）的對所有不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明.

 

答案：
解析：

解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域（－∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點對稱，又f（－x）=.

∴f（x）是奇函數(shù).

設(shè)x1<x2，x1，x2∈（0，+∞），f（x1）－f（x2）=

.

∵，

∴f（x1）－f（x2）<0.∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在（－∞，0）上也是單調(diào)遞增.∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為（－∞，0）和（0，+∞）.

（2）算得f（4）－5f（2）·g（2）=0，f（9）－5f（3）·g（3）=0.由此概括出對所有不等于零的實數(shù)x有：f（x2）－5f（x）·g（x）=0.因為：f（x2）－5f（x）·g（x）=.

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xex，其中x∈R．
（Ⅰ）求曲線f（x）在點（x0，x0ex0）處的切線方程
（Ⅱ）如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線
（1）當-2＜a＜0時，證明：-
1e2
（a+4）＜b＜f（a）；
（2）當a＜-2時，寫出b的取值范圍（不需要書寫推證過程）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1x
+ax+1-a，a∈R，
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若a=1，試證f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)；
（3）若a=1，試求f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1+ln(x+1)
x
（x＞0），
（1）函數(shù)f（x） 在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞
3
x+1
恒成立；
（3）試證：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•唐山一模）已知函數(shù)f(x)=
mx+nex
在x=1處取得極值e-1．
（I ）求函數(shù)f（x）的解析式，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當x＞0 時，試證：f（1+x）＞f（1-x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•臨沂二模）已知函數(shù)f（x）=ax-
1
x
-（a+1）lnx（a＜1）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若0＜a＜
1
e
，試證對區(qū)間[1，e]上的任意x1、x2，總有成立|f（x1）-f（x2）|＜
1
e
．

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