設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F, 離心率為, 過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn). 若, 求k的值.

 

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)設(shè)，由知，，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為，代入橢圓方程有，解得，于是=，解得，又，從而，，所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)由F(-1,0)得直線CD的方程為,代入橢圓方程消去，整理得，求解可得，，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412420412261570/SYS201308141243000379218596_DA.files/image022.png">，，所以

+

===

=，

由已知得=8，解得.

本題第（Ⅰ）問，由于過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為，所以代入橢圓方程，并結(jié)合離心率即可求出；第(Ⅱ)問，把直線CD的方程代入橢圓方程，然后由韋達(dá)定理，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，就可求出結(jié)果.在聯(lián)立方程組以及進(jìn)行平面向量的運(yùn)算時(shí)，注意計(jì)算要細(xì)心，聯(lián)立方程組后，用設(shè)而不求的思想.

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，以及用方程思想解決問題的能力.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），求直線AB的方程．
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，請問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PFA與∠PFB是否總是相等？若是，請給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，AB為橢圓中過點(diǎn)F的弦，試分析以AB為直徑的圓與橢圓的左準(zhǔn)線的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知橢圓中心關(guān)于直線對稱點(diǎn)恰好落在橢圓的左準(zhǔn)線上。

   （1）求過O、F并且與橢圓右準(zhǔn)線l相切的圓的方程；
 
   （2）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中垂線與y軸交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A縱坐標(biāo)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆安徽省六校教育研究會高三素質(zhì)測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

點(diǎn)P是橢圓外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點(diǎn)。

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求直線的方程。

（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，請問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否總是相等？若是，請給出證明。

 

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