Question

已知x∈R，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=

[x]

x

-a（x＞0）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，方程

[x]

x

=a在（0，+∞）上有且僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且 a≥0，[x]=1，2，3．分別求得[x]=1，2，3，4時(shí)，a的范圍，從而確定滿(mǎn)足條件的a的范圍．

解答： 解：因?yàn)閒（x）=

[x]

x

-a，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
則方程

[x]

x

=a在（0，+∞）上有且僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，則

[x]

x

=0；
若[x]≥1，因?yàn)閇x]≤x＜[x]+1，
∴

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，
∴

[x]

[x]+1

＜a≤1，
且

[x]

[x]+1

隨著[x]的增大而增大．
故不同的[x]對(duì)應(yīng)不同的a值，
故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，則有

1

2

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=2，則有

2

3

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=3，則有

3

4

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=4，則有

4

5

＜

[x]

x

≤1．
綜上所述，

3

4

＜a≤

4

5

．
故答案為：（

3

4

，

4

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，分類(lèi)討論思想，是一道基礎(chǔ)題．