Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=e^kx-1（k∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+x²-kx，證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時，F(xiàn)（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求；
（Ⅱ）求出F'（x），令g（x）=ke^kx+2x-k，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）f′（x）=e^x，…．（1分）
將x=0分別代入f（x）和f′（x）得，f′（0）=1，f（0）=0…．（3分）
所以曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：y=x．…．（4分）
（Ⅱ）證明：F'（x）=ke^kx+2x-k…．（6分）
令g（x）=ke^kx+2x-k，則g'（x）=k²e^kx+2…．（8分）
∵e^kx＞0，k²≥0，∴g'（x）=k²e^kx+2＞0…．（10分）
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=0即F'（x）＞0，…．（11分）
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F（x）＞F（0）=0…．（13分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，注意運用單調(diào)性，屬于中檔題．