Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：（m＞0）的左，右焦點．
（1）當(dāng)P∈C，且，|PF₁|•|PF₂|=8時，求橢圓C的左，右焦點F₁、F₂．
（2）F₁、F₂是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知⊙F₂的半徑是1，過動點Q的作⊙F₂切線QM，使得（M是切點），如圖．求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用條件得PF₁⊥PF₂以及PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²．再利用橢圓定義求出關(guān)于m的方程，解出m的值就可求橢圓C的左，右焦點F₁、F₂．
（2）把已知條件轉(zhuǎn)化為|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），整理即可求出動點Q的軌跡方程．
解答：解：（1）∵c²=a²-b²，∴c²=4m²．（2分）
又∵∴PF₁⊥PF₂，（3分）
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²．（5分）
由橢圓定義可知，（|PF₁|+|PF₂|）²=16m²+16=24m²，（6分）
從而得m²=2，c²=4m²=8，c=2．∴F₁（-2，0）、F₂（2，0）．（7分）
（2）∵F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
由已知：，即|QF₁|²=2|QM|²，
所以有：|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），設(shè)點Q（x，y），（9分）
則（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，（12分）
即（x-6）²+y²=66）
綜上所述，所求軌跡方程為：（x-6）²+y²=66．（14分）
點評：本題涉及到求動點的軌跡方程問題．在求動點的軌跡方程時，一般是利用條件得到關(guān)于動點的等式整理就可求出對應(yīng)動點的軌跡方程．