Question

非空集合M關(guān)于運(yùn)算⊕滿(mǎn)足：（1）對(duì)任意的a，b∈M，都有a⊕b∈M；（2）存在e∈M，使得對(duì)一切a∈M，都有a⊕e=e⊕a=a，則稱(chēng)M關(guān)于運(yùn)算⊕為“理想集”．現(xiàn)給出下列集合與運(yùn)算：
①M(fèi)={非負(fù)整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法；②M={偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法；
③M={二次三項(xiàng)式}，⊕為多項(xiàng)式的加法；④M={平面向量}，⊕為平面向量的加法；
其中M關(guān)于運(yùn)算⊕為“理想集”的是    ．（只需填出相應(yīng)的序號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：逐一檢驗(yàn)給出的集合與運(yùn)算是否滿(mǎn)足“理想集”的定義中的兩個(gè)條件，把滿(mǎn)足“理想集”的定義的找出來(lái)．
解答：解：對(duì)于①M(fèi)={非負(fù)整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法，由于任意兩個(gè)整數(shù)的和仍是整數(shù)，M中存在0，滿(mǎn)足
a+0=0+a=a，故滿(mǎn)足“理想集”的定義．
對(duì)于②M={偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法，由于任意兩個(gè)偶數(shù)的積仍是偶數(shù)，故滿(mǎn)足條件（1），但不存在偶數(shù)e，使得
一個(gè)偶數(shù)與e的積仍是此偶數(shù)，故不滿(mǎn)足條件（2），故不滿(mǎn)足“理想集”的定義．
對(duì)于③M={二次三項(xiàng)式}，⊕為多項(xiàng)式的加法，由于兩個(gè)二次三項(xiàng)式的和不一定是二次三項(xiàng)式，如 ax²+bx+c
與-ax²-bx+c 的和為2c，不滿(mǎn)足條件（1），故不滿(mǎn)足“理想集”的定義．
對(duì)于④M={平面向量}，⊕為平面向量的加法，由于任意兩個(gè)平面向量的和仍是平面向量，M 中存在，
使得 成立，故滿(mǎn)足“理想集”的定義．
故答案為：①④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查“理想集”的定義，通過(guò)給變量取特殊值，舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法．