（1）設(shè)
a
，
b
，是兩個非零向量，如果(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，且(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，求向量
a
與
b
的夾角大��；
（2）用向量方法證明：設(shè)平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．
分析：（1））由已知可得，7
a
2-16
a
•
b
-15
b
2=0，7
a
2+30
a
•
b
+8
b
2=0，整理可得
b
2=-2
a
•
b
，
將
b
2=-2
a
•
b
代回原式可得
a
2=-2
a
•
b
，根據(jù)向量的夾角公式可求
（2）由AD⊥BC，可得
AD
•
BC
=
AD
•(
AC
-
AB
)=0，同理可得
AC
•
BD
=
AC
•(
AD
-
AB
)=0
要證AB⊥CD即證即
CD
•
AB
=0
解答：解：（1）因為(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，所以7
a
2-16
a
•
b
-15
b
2=0，
因為(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，所以7
a
2+30
a
•
b
+8
b
2=0，（2分）
兩式相減得46
a
•
b
+23
b
2=0，于是
b
2=-2
a
•
b
，
將
b
2=-2
a
•
b
代回任一式得
a
2=-2
a
•
b
，（6分）
設(shè)與的夾角為θ，則cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=-
1
2
，
所以與的夾角大小為120°．（8分）
（2）因AD⊥BC，所以
AD
•
BC
=
AD
•(
AC
-
AB
)=0，
因BD⊥AC，所以
AC
•
BD
=
AC
•(
AD
-
AB
)=0，（12分）
于是
AD
•
AC
=
AD
•
AB
，
AC
•
AD
=
AC
•
AB
，
所以
AD
•
AB
=
AC
•
AB
，(
AD
-
AC
)•
AB
=0，（14分）
即
CD
•
AB
=0，所以
CD
⊥
AB
，即AB⊥CD．（16分）
點評：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若
a
⊥
b
?
a
•
b
=0的應(yīng)用，要證明線段垂直只要證明對應(yīng)的向量的數(shù)量積為0即可，而若知道向量垂直，則可得向量的數(shù)量積為0
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個結(jié)論：
（1） 設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有元素y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)f：A→B為從A到B的映射；
（2） 函數(shù)y=x+
2x
在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（3） 若a，b是異面直線，a?平面α，b?平面β，則α∥β；
（4） 兩條直線有斜率，如果它們的斜率相等，則它們平行．則其中所有正確結(jié)論的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下5個命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②設(shè)A、B為兩個定點，n為常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=n，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點，延長F1P到點M，使|F2P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內(nèi)兩定點，平面內(nèi)一動點P滿足向量
AB
與
AP
夾角為銳角θ，且滿足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內(nèi)，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列兩個命題：（1）設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2＞c2，則a2+b2-c2＞0；（2）設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2-c2＞0，則a2+b2＞c2．那么下述說法正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）設(shè)
a
，
b
，是兩個非零向量，如果(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，且(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，求向量
a
與
b
的夾角大小；
（2）用向量方法證明：設(shè)平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．

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