Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1 （-3≤x≤3）．
（1）證明f（x）是偶函數(shù)；
（2）畫出這個函數(shù)的圖象并求函數(shù)的值域（直接寫出結(jié)果）．
（3）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)；
（4）當(dāng)m為何值時，方程x²-2|x|-1=m有4個互不相等的實(shí)數(shù)根？（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接利用偶函數(shù)的定義證明；
（2）寫出分段函數(shù)，然后作出對應(yīng)的二次函數(shù)的部分圖象；
（3）由圖可直接得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（4）數(shù)形結(jié)合得到使得方程x²-2|x|-1=m有4個互不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （1）證明：∵-3≤x≤3，且f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）解：f（x）=x²-2|x|-1 （-3≤x≤3）=

(x-1)2-2，0≤x≤3 (x+1)2-2，-3≤x＜0

，
作出函數(shù)的圖象如圖，

值域?yàn)閇-2，2]；
（3）解：函數(shù)的增區(qū)間為[-1，0]，（1，3]．
減區(qū)間為[-3，-1），（0，1]；
（4）解：由圖可知，使得方程x²-2|x|-1=m有4個互不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2，-1）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的值域的求法，考查了分段函數(shù)圖象的作法，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，是中檔題．