Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知A₁在底面ABC內(nèi)的射影是線段BC的中點(diǎn)，且A₁O=OC，BC⊥AA₁．
（1）證明：四邊形ABB₁A₁是菱形；
（2）若A₁O=OC=2，AO=1，求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AO，證明BC⊥A₁O．結(jié)合BC⊥AA₁，推出BC⊥平面AA₁O，即可證明BC⊥AO，在Rt△AOA₁與Rt△AOC中，由勾股定理，證明AB=AC．得到AB=AA₁，然后證明四邊形ABB₁A₁是菱形．
（2）分別以O(shè)A，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面BB₁C₁C的一個(gè)法向量，設(shè)直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為θ，利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （1）證明：連接AO．

因?yàn)锳₁在底面ABC內(nèi)的射影是線段BC的中點(diǎn)O，所以BC⊥A₁O．…（1分）
又因?yàn)锽C⊥AA₁，A₁O∩AA₁=A₁，所以BC⊥平面AA₁O．…（2分）
所以BC⊥AO．…（3分）
在Rt△AOA₁與Rt△AOC中，由勾股定理，得$A{A_1}=\sqrt{A{O^2}+{A_1}{O^2}}$，$AC=\sqrt{A{O^2}+O{C^2}}$，
因?yàn)锳₁O=OC，所以AA₁=AC．…（4分）
又O是線段BC的中點(diǎn)，所以AB=AC．所以AB=AA₁．…（5分）
又因?yàn)樗倪呅蜛BB₁A₁是平行四邊形，
所以四邊形ABB₁A₁是菱形．…（6分）
（2）解：如圖，分別以O(shè)A，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

若A₁O=OC=2，AO=1，
則點(diǎn)A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）．
則$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=\overrightarrow{AC}=（-1，-2，0）$，得點(diǎn)C₁（-1，-2，2）．
則$\overrightarrow{C{C_1}}=（-1，0，2），\overrightarrow{BC}=（0，-4，0），\overrightarrow{{A_1}C}=（0，-2，-2）$．…（8分）
設(shè)平面BB₁C₁C的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CC{\;}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}（x，y，z）•（-1，0，2）=-x+2z=0\\（x，y，z）•（0，-4，0）=-4y=0\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}x=2z\\ y=0\end{array}\right.$取z=1，得平面BB₁C₁C的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，0，1）；   …（10分）
設(shè)直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為θ，則$sinθ=\left|cos＜\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}＞\right|=\left|\frac{（2，0，1）•（0，-2，-2）}{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}\right|=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
即直線A₁C與平面B₁C₁CB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，空間想象能力以及計(jì)算能力．