Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在x∈[1，4]上的最值；
（2）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，不等式f（x）≥x-3恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）通過當(dāng)a=2時(shí)，求出f（x）的對(duì)稱軸為x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值與最大值即可．
（2）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，不等式f（x）≥x-3恒成立，轉(zhuǎn)化為x²-2ax-x+4≥0，分離變量，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-4x+1的對(duì)稱軸為x=2∈[1，4]，
當(dāng)x=2時(shí)f（x）_min=f（2）=-3；…（4分）
當(dāng)x=4時(shí)f（x）_max=f（4）=1；…（7分）
（2）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，不等式f（x）≥x-3恒成立，∵f（x）≥x-3⇒x²-2ax-x+4≥0，
∵x∈[1，4]，∴x＞0，∴$2a≤\frac{{{x^2}-x+4}}{x}=x+\frac{4}{x}-1$，…（10分）
∵$x+\frac{4}{x}$在x∈[1，2]上遞減，在x∈[2，4]上遞增，∴x=2時(shí)$x+\frac{4}{x}$取得最小值為4，…（13分）
∴$2a≤{（x+\frac{4}{x}-1）_{min}}=3$，∴$2a≤3⇒a≤\frac{3}{2}$，
故a的取值集合為$\left\{{a|a≤\frac{3}{2}}\right\}$…（15分）
注：利用二次函數(shù)圖象進(jìn)行分類討論，可參照上述予以分步給分即可．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．