Question

在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD
（1）求證：AB⊥平面PBC；
（2）求三棱錐C-ADP的體積；
（3）在棱PB上是否存在點M使CM∥平面PAD？若存在，求的值．若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：因為∠ABC=90°，所以AB⊥BC．
因為平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC；
（2）解：取BC的中點O，連接PO

∵PB=PC，∴PO⊥BC
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC
∴PO⊥平面ABCD，
在等邊三角形PBC中，PO=
∴==
（3）解：在棱PB上存在點M使得CM∥平面PAD，此時=．理由如下：
取AB的中點N，連接CM，CN，MN，則MN∥PA，AN=AB．
因為AB=2CD，所以AN=CD．
因為AB∥CD，所以四邊形ANCD是平行四邊形．
所以CN∥AD．
因為MN∩CN=N，PA∩AD=A，所以平面MNC∥平面PAD
因為CM?平面MNC，所以CM∥平面PAD．
分析：（1）證明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性質，根據AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得證；
（2）取BC的中點O，連接PO，證明PO⊥平面ABCD，即可求得結論；
（3）取AB的中點N，連接CM，CN，MN，證明平面MNC∥平面PAD，可得CM∥平面PAD．
點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐的體積，考查線面平行，解題的關鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，屬于中檔題．