Question

某學(xué)校校辦工廠有毀壞的房屋一座，留有一面14m的舊墻，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面墻的一段為面墻，建造平面圖形為矩形且面積為126m²的廠房（不管墻高），工程的造價(jià)是：
（1）修1m舊墻的費(fèi)用是造1m新墻費(fèi)用的25%；
（2）拆去1m舊墻用所得的材料來(lái)建1m新墻的費(fèi)用是建1m新墻費(fèi)用的50%．
問(wèn)如何利用舊墻才能使建墻的費(fèi)用最低？

Answer 1

分析：設(shè)保留舊墻x m，即拆去舊墻（14-x）m修新墻，分別計(jì)算修舊墻的費(fèi)用、拆舊墻建新墻的費(fèi)用、新墻的費(fèi)用，再利用基本不等式可求最低費(fèi)用．

解答：解：設(shè)保留舊墻x m，即拆去舊墻（14-x）m修新墻，設(shè)建1m新墻費(fèi)用為a元，則
修舊墻的費(fèi)用為y₁=25%×ax=

1

4

ax；
拆舊墻建新墻的費(fèi)用為y₂=（14-x）×50%a=

1

2

a（14-x）；
矩形邊長(zhǎng)為x，所以另一邊長(zhǎng)為

126

x

，矩形總周長(zhǎng)即為

2×126

x

+2x，因?yàn)橛?4m舊墻拆掉或拆舊建新，所以新墻就是

2×126

x

+2x-14，新墻的費(fèi)用為：y₃=（

252

x

+2x-14）a．
于是，所需的總費(fèi)用為：
y=y₁+y₂+y₃=[(

7

4

x+

252

x

)-7]a≥(2

7 4 x• 252 x

-7)a=35a，
當(dāng)且僅當(dāng)

7

4

x=

252

x

，即x=12時(shí)上式的“=”成立；
故保留12 m的舊墻時(shí)總費(fèi)用為最低．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，考查建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，通過(guò)建立的模型選擇合適的方法求解相應(yīng)的最值．根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型建立起來(lái)是解決本題的關(guān)鍵．