Question

4．在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中，F(xiàn)₁、F₂是其左、右焦點(diǎn)，A是其上頂點(diǎn)，且∠F₁AF₂=60°．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂作傾斜角為45°的直線l，交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{N{F}_{1}}$=-2，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出△AF₁F₂是等邊三角形，從而a=2c，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，直線l：y=x-c，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\end{array}\right.$，得：7x²-8cx-8c²=0，由此利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出橢圓C的方程．

解答 解：（1）在△AF₁F₂中，由∠F₁AF₂=60°，|AF₁|=|AF₂|=a，
得△AF₁F₂是等邊三角形，∴a=2c，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
（2）∵a=2c，∴b=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}c$，
∴設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
又由右焦點(diǎn)F₂（c，0），k=tan45°=1，得直線l：y=x-c，
聯(lián)立，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\end{array}\right.$，消去y，得：7x²-8cx-8c²=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8}{7}c$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{7}{c}^{2}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且F（-c，0），
則$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{N{F}_{1}}$=（-c-x₁，-y₁）•（-c-x₂，-y₂）
=（c+x₁）（c+x₂）+y₁y₂=（c+x₁）（c+x₂）+（x₁-c）（x₂-c）=2${x}_{1}{x}_{2}+2{c}^{2}$，
=-$\frac{16}{7}{c}^{2}+2{c}^{2}=-\frac{2}{7}{c}^{2}$，
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{N{F}_{1}}$=-2，∴-$\frac{2}{7}{c}^{2}$=-2，解得c=$\sqrt{7}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{28}+\frac{{y}^{2}}{21}$=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓離心率、橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、向量數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．