Question

已知n是正整數，在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，在數列{b_n}中，b₁=a₁，
當n≥2時，=++…+．
（I）求數列{a_n}的通項公式：
（II）求-的值：
（III）當n≥2時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）將a_n+1=2a_n+1兩端同加上1，整理，構造出等差或等比數列，進行解決．
（II）根據已知寫出的表達式，再考慮作差．注意對n=1的討論．
（III）將變形為，除首尾兩項外，中間項根據（Ⅱ）的結果，進行代換，同時要注意放縮法在過程中適時、適當的適用．
解答：解：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
    兩邊同加1得，a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數列{a_n+1+1}是以a₁+1=2為首項，以2為公比的等比數列．
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1
 （II）∵，b₁-a₁=1
∴=-1
∴當n=1時，=-1
 當n≥2時，
∵=
∴===
∴=0
綜上所述，當n=1時=-1
當n≥2時=0．
（III）由（II）知：b₁=a₁=1，，即b₂=a₂=3．
當n≥2時，=0，即
∴當n≥2時，
=
=
==2×
=2×（）
=2×（1+）
＞2（1+）
=2[1+]=3-．
∴當n≥2時，．
點評：本題考查等比數列的定義，通過對遞推式變形，構造出特殊的數列來解決問題的能力，計算能力，以及分析問題解決問題的能力．（I）的兩邊加一個合適的常數的方法適用于形如：已知a_n+1=pa_n+q（pq≠0），求a_n．（III）雖的分子分母具有明顯的對應特征，但若把目光放在對（k=1，2，…，n）的處理上，則使問題脫離已經挖掘出的新信息（Ⅱ），走向偏離．因此本題同時要求獲取信息，靈活綜合分析解決問題的能力．