Question

已知橢圓x²+4y²=4，直線l：y=x+m
（1）若l與橢圓有一個公共點，求m的值；
（2）若l與橢圓相交于P、Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將直線的方程y=x+m與橢圓的方程x²+4y²=4聯(lián)立，得到5x²+2mx+m²-1=0，利用△=0，即可求得m的取值范圍；
（2）利用兩點間的距離公式，再借助于韋達定理即可得到：兩交點AB之間的距離，列出|AB|=2，從而可求得m的值．

解答： 解：（1）把直線y=x+m代入橢圓方程得：x²+4（x+m）²=4，即：5x²+8mx+4m²-4=0，
△=（8m）²-4×5×（4m²-4）=-16m²+80=0
解得：m=±

5

．
（2）設(shè)該直線與橢圓相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程5x²+8mx+4m²-4=0的兩根，
由韋達定理可得：x1+x₂=-

8m

5

，x₁•x₂=

4m2-4

5

，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(- 8m 5 )2-4× 4m2-4 5

=2；
∴m=±

30

4

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系與弦長問題，難點在于弦長公式的靈活應用，屬于中檔題．