探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57
請觀察表中值y隨x值變化的特點,完成以下的問題.
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間(0,2)上遞減;
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間
(2,0)
(2,0)
上遞增.
當x=
2
2
時,y最小=
4
4

證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間(0,2)遞減.
思考:(直接回答結(jié)果,不需證明)
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)有沒有最值?如果有,請說明是最大值還是最小值,以及取相應(yīng)最值時x的值.
(2)函數(shù)f(x)=ax+
b
x
,(a<0,b<0)在區(qū)間
[-
b
a
,0)
[-
b
a
,0)
 和
(0,
b
a
]
(0,
b
a
]
上單調(diào)遞增.
分析:根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù),通過考查x增大時,y的變化寫出問題中的空格答案.并采用證明單調(diào)性的步驟:取值、作差、變形、定號、下結(jié)論證明函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間(0,2)遞減.
(1)根據(jù)奇函數(shù)圖象對稱性,得出f(x)=x+
4
x
(x<0)有最值,當x=-2時,ymax=-4,(2)由特殊到一般的推理過程,得出f(x)=ax+
b
x
,(a<0,b<0)在區(qū)間 )[-
b
a
,0)和(0,
b
a
]上單調(diào)遞增.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間  (2,+∞)上遞增.(2分)
當x=2 時,y最小=4.(4分)
下面證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間(0,2)遞減.
證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間,(0,2)上的任意兩個數(shù),且x1<x2.…(5分)
f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)=x1-x2+
4
x1
-
4
x2
=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
.(7分)
∵x1<x2,∴x1-x2<0
又∵x1,x2∈(0,2),
∴0<x1x2<4,…(8分)
∴x1x2-4<0,f(x1)-f(x2)>0
∴函數(shù)在(0,2)上為減函數(shù).(9分)
答:(1)f(x)=x+
4
x
(x<0)有最值,當x=-2時,ymax=-4.(11分)
(2)[-
b
a
,0)和(0,
b
a
]單調(diào)遞增.(14分)
點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義、證明.奇函數(shù)的性質(zhì),是單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合,考查歸納推理、類比、論證能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減,函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間
 
上遞增;
(2)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
,當x=
 
時,y最小=
 

(3)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
  x∈(0,+∞)的最小值,并確定相應(yīng)的x的值,列表如下,請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成下列問題:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.102 4.24 4.3 5 5.8 7.57
(1)若當x>0時,函數(shù)f(x)=x+
4
x
時,在區(qū)間(0,2)上遞減,則在
 
上遞增;
(2)當x=
 
時,f(x)=x+
4
x
,x>0的最小值為
 
;
(3)試用定義證明f(x)=x+
4
x
,x>0在區(qū)間上(0,2)遞減;
(4)函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x<0有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?
解題說明:(1)(2)兩題的結(jié)果直接填寫在答題卷中橫線上;(4)題直接回答,不需證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

觀察下列表格,探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的性質(zhì),
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57
(1)請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減;
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間
(2,+∞)
(2,+∞)
上遞增.
當x=
2
2
時,y最小=
4
4

(2)證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
在區(qū)間(0,2)遞減.
(3)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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