Question

（理）過雙曲線xy=k（k＞0）上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（　�。�

• A、k
• B、

  2

  k
• C、2k
• D、不確定

Answer 1

分析：設(shè)曲線xy=k（a≠0）上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是P（x₀，y₀），對(duì)xy=k變形可y=

k

x

，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得切線的方程，聯(lián)立曲線的方程，進(jìn)而可得直線在x、y軸上的截距，由三角形面積公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：設(shè)曲線xy=k（a≠0）上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是P（x₀，y₀），
xy=k變形可y=

k

x

，
對(duì)y=

k

x

求導(dǎo)數(shù)，得y′=

k

x2

，
于是，切線的方程是y-y0=-

k

x 2 0

(x-x0)．
注意到x₀y₀=k，容易得出切線在x軸與y軸的截距分別是x_截距=x0+-

x 2 0 y0

a2

=2x0，
y_截距=y0+

k

x0

=

x0y0+k

x0

=

2k

x0

，
于是，所求三角形的面積為2k；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及求曲線的切線方程，解題時(shí)，一般步驟是先設(shè)變量或坐標(biāo)，再求或聯(lián)立；最后進(jìn)行計(jì)算．