如圖1，三棱柱是ABC-A1B1C1直三棱柱，它的三視圖如圖2所示（N為B1C1中點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A1BC；
（Ⅲ）求三棱錐B-A1NC的體積．

（Ⅰ）證明：由三視圖可知，三棱柱的底面為邊長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，側(cè)面ACC1A1，底面BCC1B1是邊長(zhǎng)為a的正方形，且面ACC1A1⊥底面BCC1B1
設(shè)A1B1中點(diǎn)Q，連接MN，MQ，NQ
由題意可得NQ∥A1C1，MQ∥CC1
∴NQ∥平面ACC1A1；MQ∥平面ACC1A1
∵M(jìn)Q∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)G，連接MG，NG，則MG∥BC
∵BC⊥面ACC1A1，
∴MG⊥ACC1A1，MG⊥A1C
∵NC=NA1
∴NG⊥A1C，且NG∩MG=G
∴A1C⊥平面MNG
∴MN⊥A1C
連接NB，NA1，則可得NB=NA1==
∵M(jìn)為A1B的中點(diǎn)
∴MN⊥A1B
∵A1C∩A1B=A1
∴MN⊥平面A1BC；
（Ⅲ）解：∵S△BNC==
∵平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，A1C1⊥CC1
∴A1C1⊥平面BCC1B1
∴A1C1即是點(diǎn)A1到平面BNC的距離
===
分析：（I）先由三視圖可知，三棱柱的底面為邊長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，側(cè)面ACC1A1，底面BCC1B1是邊長(zhǎng)為a的正方形，且面ACC1A1⊥底面BCC1B1，取A1B1中點(diǎn)Q，可先NQ∥A1C1，MQ∥CC1即可證
（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)G，可分別證明MN⊥A1B，MN⊥平面A1C，即可
（Ⅲ）由=可求
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查空間幾何體的體積，直線與平面的平行，平面與平面的垂直，考查基本定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，空間想象能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直三棱柱的一個(gè)底面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑．
（1）求證：平面ACD⊥平面ADE；
（2）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=
3
2
，求幾何體EDABC的體積V．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面AA1C1C是面積為
3
2
的菱形，∠ACC1為銳角，側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面AA1C1C，且A1B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求證：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求三棱錐A1-ABC的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱柱BCD-B1C1D1與四棱錐A-BB1D1D的組合體中，已知BB1⊥平面BCD，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=2，AD=4，BB1=1．
設(shè)O是線段BD的中點(diǎn)．
（1）求證：C1O∥平面AB1D1；
（2）證明：平面AB1D1⊥平面ADD1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•奉賢區(qū)二模）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且滿足
A1P
=λ
A1B1
．
（1）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最大；
（2）在（1）的條件下，求三棱錐P-MNC的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
2
，BC=2，∠BAC=45°，D是AC1的中點(diǎn)，E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)E是BB1的中點(diǎn)時(shí)，證明：DE∥平面A1B1C1；
（2）在棱BB1上是否存在點(diǎn)E滿足
BE
=λ
EB1
，使二面角E-AC1-C是直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案