已知向量
a
=（2cos
x
2
，tan（
x
2
+
π
4
）），
b
=（
2
sin（
x
2
+
π
4
），tan（
x
2
-
π
4
），令f（x）=
a
•
b
．是否存在實數(shù)x∈[0，π]，使f（x）+f'（x）=0（其中f'（x）是f（x）的導函數(shù)）？若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之．
分析：先表示出函數(shù)f（x）的解析式，然后對其求導．令f（x）+f′（x）=0可得答案．
解答：解：f（x）=
a
•
b
=2
2
cos
x
2
sin（
x
2
+
π
4
）+tan（
x
2
+
π
4
）tan（
x
2
-
π
4
）
=2
2
cos
x
2
（
2
2
sin
x
2
+
2
2
cos
x
2
）+
1+tan
x
2
1-tan
x
2
•
tan
x
2
-1
1+tan
x
2

=2sin
x
2
cos
x
2
+2cos2
x
2
-1
=sinx+cosx．
f（x）+f′（x）=0，
即：f（x）+f′（x）=sinx+cosx+cosx-sinx=2cosx=0．可得x=
π
2
，
當x=
π
2
時，tan（
x
2
+
π
4
）無意義
所以不存在實數(shù)x=
π
2
∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)求導運算，是小綜合題．向量和三角函數(shù)的綜合是高考熱點要給予重視．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函數(shù)f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數(shù)g（x）的圖象關于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數(shù)x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，當且僅當x1=x2時取“=”．求證：當a＞
2π
3
時，函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2cosx，sin2x），
b
=（2sinx，cos2x）（x∈R），且f（x）=|
a
|-|
b
|，則f（x）的最大值
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函數(shù)f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數(shù)g（x）的圖象關于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數(shù)x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，當且僅當x1=x2時取“=”．求證：當a＞
2π
3
時，函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．

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