Question

一次函數(shù)r（x）=ax+b的圖象過原點(diǎn)，函數(shù)h（x）=lnx定義在（1，e）（e為自然對(duì)數(shù)的底）上．
（Ⅰ）若f（x）=r（x）+h（x）有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=x³-x-2，x∈（1，e），在（Ⅰ）的條件下，證明在函數(shù)f（x）圖象上任取點(diǎn)A，總能在g（x）圖象上找到相應(yīng)的點(diǎn)B，使A、B連線平行于x軸．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)圖象過原點(diǎn)，得到函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，得到x的值，列出表格寫出導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)有極值做出a的范圍．
（II）根據(jù)上一問所得的結(jié)果，函數(shù)有極值，進(jìn)而做出函數(shù)的值域，同理可以做出g（x）的值域，根據(jù)兩個(gè)圖象上總存在兩點(diǎn)的連線與x 平行，得到兩個(gè)函數(shù)的值域是一個(gè)包含關(guān)系．
解答：解：（Ⅰ）∵r（x）=ax+b的圖象過原點(diǎn)，
∴b=0，∴f（x）=ax+lnx．
求導(dǎo)可得，
令，可得．
∵x∈（1，e），∴，∴．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）、f（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	+		-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，-）
（II）由（I）知f（x）有極大值f（-）=-1+ln（-）
∵f（1）=a，f（e）=ae+1
∴-1＜
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是[a，-1+ln（-）]
同理知g（x）在（1，e）上的值域是（-2，e³-e-2）
e³-e-2＞0，，，
所以e³-e-2＞，-2＜ae+1，-2＜a，
∴（-2，e³-e-2），（-2，e³-e-2），
∴?x₁∈（1，e），?x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）成立．
∴在函數(shù)f（x）圖象上任取點(diǎn)A，總能在g（x）圖象上找到相應(yīng)的點(diǎn)B，
使A、B連線平行于x軸．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件，本題解題的關(guān)鍵是得到函數(shù)f（x）的值域，針對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的值域之間的關(guān)系要注意理解．