在xOy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2),…，Pn(xn,yn),…,對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=x2(x≥0)的圖象上，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1又彼此外切.若x1=1且xn+1＜xn?(n∈N*).

(1)求證：數(shù)列{1xn}是等差數(shù)列；

(2)設(shè)⊙Pn的面積為Sn,Tn=+…+,求證：Tn＜.

(1)證明：依題意，⊙Pn的半徑rn=yn=xn2,∵⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切，∴|PnPn+1|=rn+rn+1|,∴=yn+yn+1，兩邊平方，化簡(jiǎn)得（xn-xn+1）2=4ynyn+1,即：（xn-xn+1）2=4xn2xn+12.∵0＜xn+1＜xn,∴xn-xn+1=2xnxn+1=2(n∈N*).所以數(shù)列{}是等差數(shù)列；

(2)解析：由題設(shè)，∵x1=1,∴=+(n-1)·2xn=,

∴Sn=πrn2=πyn2=πxn4=,

Tn=+…+=［1++…+］

≤［1++…+］=［1+(1-)］=

＜.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）…，Pn（xn，yn），…，（n∈N*），點(diǎn)Pn在函數(shù)y=x2（x≥0）的圖象上，以點(diǎn)Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xnx1=1．
（I）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)圓Pn的面積為Sn，Tn=
S1
+
S2
+…+
Sn
，求證：Tn＜
3
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸及射線y=
3
x，（x≥0）都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{xn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足an≤
xnan-1
xn+an-1
，a1=1，
求證：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
5
4
-
1
3n-1
，（n≥2）
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{an}，當(dāng)n＞1時(shí)，求證：(1-an)2[
a
2
2
(1-
a
2
2
)2
+
a
3
3
(1-
a
3
3
)2
+…+
a
n
n
(1-
a
n
n
)2
]＞
4
5
-
1
1+an+
a
2
n
+…+
a
n
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）┉Pn（xn，yn），對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)Pn（xn，yn）位于函數(shù)y=x2（x≥0）圖象上，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸相切，又與⊙Pn+1外切，若x1=1，xn+1＜xn（n∈N+），則數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式xn=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（解析版） 題型：解答題

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸及射線y=x，（x≥0）都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{xn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足an≤=1，
求證：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜，（n≥2）
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{an}，當(dāng)n＞1時(shí)，求證：．

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