（2013•湖州二模）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，
PM
•
PN
的取值范圍是
[0，2]
[0，2]
．
分析：根據(jù)題意，可設(shè)M、N分別是內(nèi)切球在正方體左、右側(cè)面的切點(diǎn)，運(yùn)動點(diǎn)P并加以觀察，可得當(dāng)P與正方體的某個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，
PM
•
PN
達(dá)到最大值；當(dāng)P與正方體某個(gè)面的中心重合時(shí)，
PM
•
PN
達(dá)到最小值．由此結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式，即可得到數(shù)量積
PM
•
PN
的取值范圍．
解答：解：根據(jù)題意，MN是正方體內(nèi)切球的最大弦長
∴MN是內(nèi)切球的直徑
設(shè)M、N分別是內(nèi)切球在正方體左、右側(cè)面的切點(diǎn)，如圖
方法1：當(dāng)P在正方體表面運(yùn)動，它與正方體的某個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，
PM
•
PN
達(dá)到最大值．以C1點(diǎn)為例，此時(shí)
PM
•
PN
=
C1M
•
C1N
=
|C1M|
•
|C1N|
cos∠∠MC1N=
|C1N|
2=（
2
2
A
A
 
1
）2=2；
當(dāng)點(diǎn)P與正方體某個(gè)面的中心重合時(shí)，
PM
•
PN
達(dá)到最小值．
此時(shí)
PM
⊥
PN
，得
PM
•
PN
=0
綜上所述，得數(shù)量積
PM
•
PN
的取值范圍為[0，2]
方法2：連接PO，可得
PM
•
PN
=（
PO
+
OM
）•（
PO
+
ON
）=
PO
2+
PO
•
ON
+
OM
•
PO
+
OM
•
ON

=
PO
2+
PO
•（
ON
+
OM
）+
OM
•
ON
=
PO
2-1
當(dāng)|
PO
|達(dá)到最大值
3
時(shí)，
PM
•
PN
的最大值為2；當(dāng)|
PO
|達(dá)到最小值1時(shí)，
PM
•
PN
的最小值為0．
綜上所述，得數(shù)量積
PM
•
PN
的取值范圍為[0，2]
故答案為：[0，2]
點(diǎn)評：本題給出正方體的內(nèi)切球，求一個(gè)數(shù)量積的取值范圍．著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和正方體的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
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9
9
．

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1
2
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n
p1+p2+…+pn
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1
2n+1
，又bn=
an+1
4
，則
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
b10b11
=（　　）

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