Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的右準線l的方程為x=，短軸長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過定點B（1，0）作直線l與橢圓C相交于P，Q（異于A₁，A₂）兩點，設直線PA₁與直線QA₂相交于點M（2x，y）．
①試用x，y表示點P，Q的坐標；
②求證：點M始終在一條定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件能夠得到，由此可求出橢圓C的方程．
（2）A₁（-2，0），A₂（2，0），方程為MA₁的方程為：，代入，
得．P（，）．同理可得Q（，）．再由P，Q，B三點共線，知k_PB=k_QB，從而得到點M始終在定直線x=4上．
解答：解：（1）由得
∴橢圓C的方程為；
（2）A₁（-2，0），A₂（2，0），
方程為MA₁的方程為：，即．代入，
得，即．
∴=，
則=．
即P（，）．
同理MA₂的方程為，即．代入，
得，即．
∴=．
則=．
即Q（，）．
∵P，Q，B三點共線，
∴k_PB=k_QB，即．
∴．
即．
由題意，y≠0，
∴．
3（x+1）（x-1）²-（x+1）y²=（x-1）（x+1）²-3（x-1）y²．
∴（2x-4）（x²+y²-1）=0．則2x-4=0或x²+y²=1．
若x²+y²=1，即，則P，Q，M為同一點，不合題意．
∴2x-4=0，點M始終在定直線x=4上．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意培養(yǎng)計算能力．