Question

（2013•靜安區(qū)一模）已知α、β為銳角，且(1+tan

α

2

)(1+tan

β

2

)=2，則tanαtanβ=

1

．

Answer 1

分析：由條件利用兩角和的正切公式求得tan（

α+β

2

）=

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=1，可得

α+β

2

=

π

4

，即α+β=

π

2

，由此求得tanαtanβ 的值．

解答：解：∵已知α、β為銳角，且(1+tan

α

2

)(1+tan

β

2

)=2，則 1+tan

α

2

+tan

β

2

+tan

α

2

•tan

β

2

=2，
化簡(jiǎn)可得，tan

α

2

+tan

β

2

=1-tan

α

2

•tan

β

2

，∴tan（

α+β

2

）=

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=1，
∴

α+β

2

=

π

4

，∴α+β=

π

2

，即α與β互為余角，故有 tanαtanβ=1，
故答案為 1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正切公式，互余的兩個(gè)角正切值間的關(guān)系，屬于中檔題．