Question

12．設(shè)f（x）是R上的偶函數(shù)，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，則（x-1）f（x-1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（-1）=f（1）=0，
則函數(shù)f（x）對應(yīng)的圖象如圖：
即當x＞1或x＜-1時，f（x）＞0，
當0＜x＜1或-1＜x＜0時，f（x）＜0，
則不等式（x-1）f（x-1）＞0等價為$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{f（x-1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{f（x-1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1＞1或x-1＜-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{0＜x-1＜1或-1＜x-1＜1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞2或x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1＜x＜2或0＜x＜2}\end{array}\right.$，
即x＞2或0＜x＜1，
即不等式的解集為（0，1）∪（2，+∞），
故答案為：（0，1）∪（2，+∞）

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解決本題的關(guān)鍵．