已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=2an-3n(n∈N*).
(1)證明數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列,求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=數(shù)學公式,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

(1)證明:因為Sn=2an-3n,所以Sn+1=2an+1-3(n+1),
則an+1=2an+1-2an-3,所以an+1=2an+3,
所以an+1+3=2(an+3),
因為n=1時,a1=S1=2a1-3,所以a1=3,所以a1+3=6,
所以數(shù)列{an+3}是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列;
所以an+3=6•2n-1=3•2n,
所以an=3•2n-3;
(2)解:bn==n•2n-n,則Tn=(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)
令Tn′=1•21+2•22+…+n•2n,則2Tn′=1•22+2•23+…+n•2n+1,
兩式相減可得-Tn′=1•21+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1,
∴Tn′=(n-1)•2n+1+2,
∴Tn=(n-1)•2n+1+2-
分析:(1)根據(jù)an+1=Sn+1-Sn,求得an+1=2an+3,整理可得an+1+3=2(an+3),即可證明數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列,從而可求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)分組,再利用錯位相減法,即可求數(shù)列{bn}的前n項和Tn
點評:本題考查了數(shù)列的遞推式,等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列通項公式,考查錯位相減法,屬于中檔題.
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