Question

自點A（0，-1）向拋物線C：y=x²作切線AB，切點為B，且B在第一象限，再過線段AB的中點M作直線l與拋物線C交于不同的兩點E、F直線AF AE分別交拋物線C于P、Q兩點
（1）求切線AB的方程及切點B的坐標；
（2）證明

PQ

=λ

AB

（λ∈R）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出切線的方程，代入拋物線，利用判別式等于0求得k，則直線AB的方程可得，求得切點B的坐標．
（2）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，要證

PQ

=λ

AB

（λ∈R），只要PQ∥AB，證K_PQ=K_AB=2即可．根據(jù)K_PQ=

x42-x32

x4-x3

，APF三點共線推斷出K_AP=K_AF，進而推斷出好兩直線平行且

PQ

=λ

AB

．

解答：解：（1）設(shè)切線AB的方程為y=kx-1，
代入y=x²得x²-kx+1=0，由△=k²-4=0得k=2，AB的方程為y=2x-1，易得切點B（1，1）
（2）線段AB的中點M（

1

2

，0），設(shè)過點M的直線l的方程為y=k（x-

1

2

），與y=x²交于E（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
由

y=k(x- 1 2 ) y=x2

得x²-kx+

1

2

k=0，有x₁+x₂=k，x₁x₂=

1

2

k
再設(shè)P（x₃，x₃²），Q（x₄，x₄²），要證

PQ

=λ

AB

（λ∈R），只要PQ∥AB，證K_PQ=K_AB=2即可
由K_PQ=

x42-x32

x4-x3

=x₃+x₄
∵APF三點共線，有K_AP=K_AF，∴

x32+1

x3

=

x22+1

x2

x₂x₃²+x₂=x₃x₂²+x₃，∴（x₂-x₃）（x₂x₃-1）=0，又x₂≠x₃∴x₂x₃=1
同理由AEQ三點共線得x₁x₄=1
∴k_PQ=x₃+x₄=

1

x2

+

1

x1

=

x1+x2

x1x2

=

k

1 2 k

=2
所以PQ∥AB，有

PQ

=λ

AB

（λ∈R）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)立，利用韋達定理和判別式找到解決問題的途徑．