Question

17．已知函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x_1}）•f（{x_2}）}=C$，則稱常數(shù)C是函數(shù)f（x）在D上的“湖中平均數(shù)”．若已知函數(shù)$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}，x∈[{0，2016}]$，則f（x）在[0，2016]上的“湖中平均數(shù)”是$（\frac{1}{2}）^{1008}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對?x₁∈D，?唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x_1}）•f（{x_2}）}=C$，則稱常數(shù)C是函數(shù)f（x）在D上的“湖中平均數(shù)”．根據(jù)函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）x，x∈[0，2016]，為單調(diào)減函數(shù)，可得f（x）在[0，2016]上的“湖中平均數(shù)”是其最大值和最小值的幾何平均數(shù)

解答 解：由已知中湖中平均數(shù)的定義可得C即為函數(shù)y=f（x），x∈D最大值與最小值的幾何平均數(shù)
又∵函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）x，x∈[0，2016]為減函數(shù)
故其最大值M=1，最小值m=（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶
故C=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2016}}$=$（\frac{1}{2}）^{1008}$；
故答案為：${（\frac{1}{2}）^{1008}}$

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知判斷出C等于函數(shù)在區(qū)間D上最大值與最小值的幾何平均數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．