Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥底ABCD，PO=

3

，E、F分別是BC、AP的中點．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求三棱錐F-ABE的體積．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點G，連接FG、CG，由FG是△PAD的中位線，可得FG∥

1

2

AD且FG=

1

2

AD；由公理4可得CE∥FG且CE=FG，可得四邊形EFGC是平行四邊形，從而有EF∥CG，進而由線面平行的判定得到結論．
（2）取AO的中點M，連FM，則FM∥OP，又OP⊥面ABCD，所以FM⊥面ABCD，F(xiàn)M是三棱錐F-ABE的高，再求得△ABE的面積，最后由棱錐的體積公式求解．

解答：解：（1）證明：取PD的中點G，連接FG、CG（2分）
∵FG是△PAD的中位線，
∴FG∥

1

2

AD且FG=

1

2

AD
在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，又E為BC的中點，
∴CE∥FG且CE=FG
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF∥CG（4分）
又EF?面PCD，CG?面PCD，
∴EF∥面PCD（6分）
（2）取AO的中點M，連FM，則FM∥OP，FM=

1

2

OP=

3

2

，
又OP⊥面ABCD，
∴FM⊥面ABCD．
∴FM是三棱錐F-ABE的高，（8分）
又S△ABE=

1

2

AB•BEsin∠ABE=

1

2

×2×1×

3

2

=

3

2

（10分）
∴VF-ABE=

1

3

•S△ABE•FM=

1

3

•

3

2

×

3

2

=

1

4

（12分）

點評：本題主要考查線線，線面，面面平行，垂直關系的轉化與應用，還考查了幾何體的體積求法，關鍵是論證高及幾何體的底，屬中檔題．