Question

函數(shù)y=

x

x-1

圖象與函數(shù)y=2cos²

π

4

x（-3≤x≤5）圖象所有交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱，再由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心公式，可得函數(shù)y=cos

π

2

x+1的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心也是點(diǎn)（1，1），故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2．由此不難得到正確答案

解答： 解：∵函數(shù)y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

 的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，
函數(shù)y=2cos²

π

4

x=cos

π

2

x+1的圖象也關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，周期為

2π

π 2

=4，
在區(qū)間[-3，5]上，正好包含函數(shù)y=cos

π

2

x+1的2個(gè)周期，
2個(gè)圖象的交點(diǎn)有4個(gè)，這4個(gè)交點(diǎn)可分成2對(duì)，每一對(duì)都關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，
故它們的縱坐標(biāo)之和為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖象公共的對(duì)稱中心是解決本題的入口，討論函數(shù)y=cos

π

2

x+1的單調(diào)性找出區(qū)間[-3，5]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是本題的難點(diǎn)所在，屬于中檔題．