Question

（2012•寧德模擬）已知點F、A、B分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點、右頂點、上頂點，且∠FBA為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍是

5 -1

2

，1

．

Answer 1

分析：依題意可得，a²+a²+b²＜（a+c）²，而橢圓的離心率e=

c

a

∈（0，1），從而可求得該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：依題意作圖如下：

其中|BF|=a，|AF|=a+c，|BA|²=a²+b²，
∵∠FBA為鈍角，
∴|BF|²+|BA|²＜|AF|²，
即a²+a²+b²＜（a+c）²，
∴c²+ac-a²＞0，等號兩邊同除以a²得，e²+e-1=0，
∴e＞

5 -1

2

或e＜

- 5 -1

2

（舍），又e∈（0，1），
∴

5 -1

2

＜e＜1．
∴該橢圓的離心率的取值范圍是（

5 -1

2

，1）．
故答案為：（

5 -1

2

，1）．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查a，b，c之間關系的靈活應用，考查三角形的性質及橢圓的離心率，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．