Question

【題目】已知（，且，）是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，

（1）求的值和實數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；

（3）若且成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的特性，可得,再由,，可得實數(shù)的值；（2）討論兩種情況，當時， 當時，分別結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),及復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）由，可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的定義域和奇偶性，解不等式，可得實數(shù)的取值范圍.

（1）∵（，且，）是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，

∴，

且，即，

即，

可得，

故，

又∵，

故，

（2）由（1）得，

令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當時，為減函數(shù)，此時函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增；

當時，為增函數(shù)，此時函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減；

（3）若，則，由（1）得，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，

若，

則，

則，

則，

解得：.