Question

函數(shù)y=lnx關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為f（x），又函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為g（x），記h（x）=f（x）+g（x）．
（1）設(shè)曲線(xiàn)y=h（x）在點(diǎn)（1，h（1））處的切線(xiàn)為l，l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)h（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求過(guò)（1，h（1））點(diǎn)的切線(xiàn)方程，根據(jù)l與圓（x+1）²+y²=1相切，利用點(diǎn)線(xiàn)距離等于半徑可求a的值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)大于0的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合區(qū)間[0，1]進(jìn)行分類(lèi)討論，從而可求h（x）的最大值．
解答：解：（1）由題意得f（x）=ln（2-x），g（x）=ax，
∴h（x）=ln（2-x）+ax．
∴，過(guò)（1，h（1））點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為a-1，
∴過(guò)（1，h（1））點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y-a=（a-1）（x-1）．
又已知圓心為（-1，0），半徑為1，
由題意得，解得a=1．
（2）．
∵a＞0，∴．
令h′（x）＞0，∴；
令h′（x）＜0，∴，
所以，是h（x）的增區(qū)間，是h（x）的減區(qū)間．
（3）①當(dāng)，即時(shí)，h（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴h（x）的最大值為h（0）=ln2．
②當(dāng)，即時(shí)，，h（x）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，h（x）的最大值為．
③當(dāng)，即a≥1時(shí)，h（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴h（x）的最大值為h（1）=a．
綜上，當(dāng)時(shí)，h（x）的最大值為ln2；
當(dāng)時(shí)，h（x）的最大值為2a-1-lna；
當(dāng)a≥1時(shí)，h（x）的最大值為a．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．